Question

6．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）极值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-2时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）极值；
（Ⅱ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
当a=-2时，f′（x）=$\frac{1-4{x}^{2}}{x}$，…（3分）

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）		极大值

函数的极大值是f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-ln2，无极小值…．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{（ax-1）（2x-1）}{x}$，…（8分）
①当a≤0时，

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）		极大值

…（9分）
②当0＜a＜2时，

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

…..（10分）
③当a=2时，f′（x）=$\frac{（2x-1）^{2}}{x}$≥0对x∈（0，+∞）恒成立，当且仅当x=$\frac{1}{2}$时f′（x）=0
所以，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．…（11分）
④当a＞2时

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

综上，
当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{2}$），单调递减区间是（$\frac{1}{2}$，+∞）；
当0＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{2}$）和（$\frac{1}{a}$，+∞），单调递减区间是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）；
当a=2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a＞2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{a}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞），单调递减区间是（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了利用导数研究函数单调性、极值的方法，以及二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用．