Question

11．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos2θ+4ρsinθ=3，直线l与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为ρ²cos2θ+4ρsinθ=3，即曲线C的极坐标方程为ρ²（cos²θ-sin²θ）+4ρsinθ=3，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程变形为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{1}{2}m}\\{y=2-\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，（m为参数）代入曲线C的方程可得：m²-4m-10=0，利用|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ²cos2θ+4ρsinθ=3，即曲线C的极坐标方程为ρ²（cos²θ-sin²θ）+4ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x²-y²+4y-3=0．
（II）把直线l的参数方程变形为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{1}{2}m}\\{y=2-\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，（m为参数）代入曲线C的方程可得：m²-4m-10=0，
∴m₁+m₂=4，m₁m₂=-10．
∴|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-4×（-10）}$=2$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程的应用、直线与曲线相交弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．