已知椭圆()的右焦点为.离心率为.(Ⅰ)若.求椭圆的方程,(Ⅱ)设直线与椭圆相交于.两点.分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上.且.求的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）由已知椭圆的半焦距，又，根据离心率的定义得，则，所以，从而得出所求椭圆的方程为.
（2）根据题意可设点、的坐标分别为、，联立直线方程与椭圆方程，消去得，则，，因为原点在圆上，所以，根据三角形中位线性质可知四边形为矩形，所以，又，所以，，因此，即，从而可整理得，又因为，所以，即，从而，所以，因此，解得.（如图所示）

试题解析：（Ⅰ）由题意得，得.                            2分
结合，解得，.                         3分
所以，椭圆的方程为.                                4分
（Ⅱ）由得.
设.
所以，                               6分
依题意，，
易知，四边形为平行四边形，
所以，                                              7分
因为，，
所以.        8分
即，                                 9分
将其整理为 .               10分
因为，所以，.          11分
所以，即.                     13分
考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆；3.向量.

练习册系列答案

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已知动直线与椭圆交于、两不同点，且△的面积=，其中为坐标原点.
（1）证明和均为定值；
（2）设线段的中点为，求的最大值；
（3）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断△的形状；若不存在，请说明理由.

在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值；
（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作，设交于点，
证明:当点在椭圆上移动时，点在某定直线上.

已知两点，直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为.
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）.

已知椭圆经过点,离心率为．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k₁,k₂,当k₁·k₂最大时,求直线l的方程．

给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.
（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；
（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.