题目内容

已知动直线与椭圆交于两不同点,且△的面积=,其中为坐标原点.
(1)证明均为定值;
(2)设线段的中点为,求的最大值;
(3)椭圆上是否存在点,使得?若存在,判断△的形状;若不存在,请说明理由.

(1)证明详见解析;(2);(3)不存在点满足要求.

解析试题分析:(1)先检验直线斜率不存在的情况,后假设直线的方程,利用弦长公式求出的长,利用点到直线的距离公式求点到直线的距离,根据三角形的面积公式,即可求得均为定值;(2)由(1)可求线段的中点的坐标,代入并利用基本不等式求最值;(3)假设存在,使得,由(1)得,从而求得点的坐标,可以求出直线的方程,从而得到结论.
试题解析:(1)当直线的斜率不存在时,P,Q两点关于轴对称,所以
因为在椭圆上,因此   ①
又因为所以   ②
由①、②得,此时     2分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为
由题意知,将其代入,得
其中 (*)

所以
因为点到直线的距离为
所以

,整理得,且符合(*)式
此时

综上所述,结论成立         5分
(2)解法一:
(1)当直线的斜率不存在时,由(I)知
因此               6分
(2)当直线的斜率存在时,由(I)知

所以

所以,当且仅当,即时,等号成立
综合(1)(2)得的最大值为             9分
解法二:因为

所以
当且仅当时等号成立
因此的最大值为                   9分
(3)椭圆C上不存在三点,使得 10分
证明:假设存在满足
由(I)得

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