题目内容
已知椭圆C：
的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点(―1,―1)
（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析
解析试题分析：（I）由等轴双曲线的离心率为
，可得椭圆的离心率
，因为直线，与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，利用点到直线的距离公式和直线与圆相切的性质可得，
，再利用
即可得出；（II）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，①不存在时比较简单；②斜率存在时，设直线AB的方程为
，由椭圆
与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式，再利用
即可证明
试题解析：（Ⅰ）由题意得， 2分
即
，解得
4分
故椭圆C的方程为 5分
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设A
,则B
，由k1＋k2＝2得
，得
7分
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b（）,
,
得
，
9分
即
由，
11分
即
故直线AB过定点(―1,―1) 13分
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程
练习册系列答案
相关题目
：
的离心率为 
，点
为其下焦点，点
为坐标原点，过
：
（其中
）与椭圆
两点，且满足：
.
表示 
；
，求 
的取值范围.
在抛物线
：
上.
的三个顶点都在抛物线
，
，
所在直线的斜率分别为
，
，
，求
的值；
的四个顶点都在抛物线
，
所在直线的斜率分别为
，求
的值.
（
）的右焦点为
，离心率为
.
，求椭圆的方程；
与椭圆相交于
，
两点，
分别为线段
的中点. 若坐标原点
在以
为直径的圆上，且
，求
的取值范围.
:
的离心率为
，过椭圆
的直线
与椭圆
（点
为椭圆
的直线
与椭圆相交于
两点.判断直线
是否关于直线
对称，并说明理由.
、
为椭圆
的左、右焦点，且点
在椭圆
的直线
交椭圆
两点，则
的内切圆的面积是否存在最大值？
，称圆心在坐标原点O，半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是
.
满足
，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
，求P点的坐标；
，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
：
.
(如图)，直线
分别与椭圆
两点，其中点
满足
，且
.
与
轴交点的位置与
无关；
面积是∆
面积的5倍，求
:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆
、
两点,
交椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线
、
，动点N满足
（O为坐标原点），
，
，
，求点P的轨迹方程.
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点
与直线
分别交于点
，
、
，求证：
为定值；
为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．