题目内容
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足
=
+
．
（1）求证：A、B、C三点共线；
（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，
]，f（x）=
•
+（2m+
）|
|+m2的最小值为5，求实数m的值．
| OC |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| OB |
（1）求证：A、B、C三点共线；
（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，
| π |
| 2 |
| OA |
| OC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量共线定理证明
∥
即可；
（2）利用数量积运算和二次函数的单调性即可得出．
| AC |
| AB |
（2）利用数量积运算和二次函数的单调性即可得出．
解答：
解：（1）∵
=
-
=
+
-
=
(
-
)=
∴
∥
，
又
与
有公共点A，故A、B、C三点共线．
（2）∵
=(1，cosx)，
=(1+sinx，cosx)，
∴
=
+
=(1+
sinx，cosx)，
=
-
=(sinx，0)，
故
•
=1+
sinx+cos2x，|
|=
=sinx，（x∈[0，
]）．
从而f(x)=
•
+(2m+
)|
|+m2
=1+
sinx+cos2x+(2m+
)sinx+m2
=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2
=-sin2x+（2m+1）sinx+2+m2
=-(sinx-
)2+2m2+m+
，
关于sinx的二次函数的对称轴为sinx=
，
∵x∈[0，
]，∴sinx∈[0，1]，又区间[0，1]的中点为
．
①当
≤
，即m≤0时，当sinx=1时，f(x)min=m2+2m+2．
由f（x）min=5得m=-3或m=1，又m≤0，∴m=-3；
②当
＞
，即m＞0时，当sinx=0时，f(x)min=2+m2，
由f（x）min=5得m=±
，又m＞0，∴m=
．
综上所述：m的值为-3或
．
| AC |
| OC |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| OB |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| OB |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| AB |
∴
| AC |
| AB |
又
| AC |
| AB |
（2）∵
| OA |
| OB |
∴
| OC |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| 2 |
| 3 |
| OB |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| OB |
| OA |
故
| OA |
| OC |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| sin2x |
| π |
| 2 |
从而f(x)=
| OA |
| OC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
=1+
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2
=-sin2x+（2m+1）sinx+2+m2
=-(sinx-
| 2m+1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
关于sinx的二次函数的对称轴为sinx=
| 2m+1 |
| 2 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
①当
| 2m+1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由f（x）min=5得m=-3或m=1，又m≤0，∴m=-3；
②当
| 2m+1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由f（x）min=5得m=±
| 3 |
| 3 |
综上所述：m的值为-3或
| 3 |
点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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