Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.

【解析】

（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；

（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.

（1）的定义域为R，且.

由，得；由，得.

故当时，函数的单调递增区间是，

单调递减区间是；

当时，函数的单调递增区间是，

单调递减区间是.

（2）由（1）知当时，，且.

当时，；当时，.

当时，直线与的图像有两个交点，

实数t的取值范围是.

方程有两个不等实根，

，，，，

，即.

要证，只需证，

即证，不妨设.

令，则，

则要证，即证.

令，则.

令，则，

在上单调递增，.

，在上单调递增，

，即成立，

即成立..