题目内容
在平面直角坐标系xoy中，已知
=（-1，0），
=（0，
），
=（cosθ，sinθ），其中θ∈[0，
]．
（Ⅰ）若
∥
，求tanθ；
（Ⅱ）求
•
的最大值；
（Ⅲ）是否存在θ∈[0，
]，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．
| OA |
| OB |
| 3 |
| OC |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）若
| AB |
| OC |
（Ⅱ）求
| AC |
| BC |
（Ⅲ）是否存在θ∈[0，
| π |
| 2 |
分析：（I）由向量的坐标运算法则，得
=（1，
），再根据向量平行的条件列式，解关于θ的等式即可求出tanθ；
（II）算出
、
的坐标，根据向量数量积的坐标式得到
•
=1-2sin（θ-
），再利用三角函数的图象与性质，即可求出
•
的最大值；
（III）分别计算
•
、
•
，利用三角函数的值域得到它们都为正数，从而得到∠BAC、∠ABC都为锐角．因此只有当∠ACB为钝角时△ABC为钝角三角形，再解
•
＜0得到关于θ的不等式，利用三角函数的图象得到θ∈（
，
]，即为使△ABC为钝角三角形的θ的取值范围．
| AB |
| 3 |
（II）算出
| AC |
| BC |
| AC |
| BC |
| π |
| 6 |
| AC |
| BC |
（III）分别计算
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
| CA |
| CB |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：解：（I）∵
=（-1，0），
=（0，
），∴
=（1，
）
∵
=（cosθ，sinθ），
∥
，
∴cosθ•
=sinθ•1，可得tanθ=
=
结合θ∈[0，
]，可得θ=
；
（II）∵
=（1+cosθ，sinθ），
=（cosθ，sinθ-
）
∴
•
=cosθ（1+cosθ）+sinθ（sinθ-
）
=cos2θ+sin2θ-（
sinθ-cosθ）=1-2sin（θ-
）
∵θ∈[0，
]，可得θ-
∈[-
，
]
∴-
≤sin（θ-
）≤
，可得1-2sin（θ-
）∈[1-
，2]
当且仅当θ=0时，
•
的最大值为2；
（III）∵
=（1，
），
=（1+cosθ，sinθ），
∴
•
=1+cosθ+
sinθ，
结合θ∈[0，
]可得
•
＞1为正数，因此∠BAC为锐角
同理，
•
=3-2sin（θ+
）＞0，可得∠ABC为锐角
由以上的分析，可得只有当∠ACB为钝角时，△ABC为钝角三角形
由（II），可得
•
=
•
=1-2sin（θ-
）
当sin（θ-
）＞
时，即θ-
＞
时，
也就是θ＞
时，
•
=1-2sin（θ-
）＜0，此时∠ACB为钝角
因此存在θ∈（
，
]，满足△ABC为钝角三角形．
| OA |
| OB |
| 3 |
| AB |
| 3 |
∵
| OC |
| AB |
| OC |
∴cosθ•
| 3 |
| sinθ |
| cosθ |
| 3 |
结合θ∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
（II）∵
| AC |
| BC |
| 3 |
∴
| AC |
| BC |
| 3 |
=cos2θ+sin2θ-（
| 3 |
| π |
| 6 |
∵θ∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
当且仅当θ=0时，
| AC |
| BC |
（III）∵
| AB |
| 3 |
| AC |
∴
| AB |
| AC |
| 3 |
结合θ∈[0，
| π |
| 2 |
| AB |
| AC |
同理，
| BA |
| BC |
| π |
| 6 |
由以上的分析，可得只有当∠ACB为钝角时，△ABC为钝角三角形
由（II），可得
| CA |
| CB |
| AC |
| BC |
| π |
| 6 |
当sin（θ-
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
也就是θ＞
| π |
| 3 |
| CA |
| CB |
| π |
| 6 |
因此存在θ∈（
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求数量积的最值并讨论三角形的形状问题．着重考查了向量数量积的定义及其运算公式、三角函数式的化简和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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