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(2012•香洲区模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=4,BC=4,BB1=3,M、N分别是B1C1和AC的中点.
(1)求异面直线AB1与C1N所成的角;
(2)求三棱锥M-C1CN的体积.
分析:(1)过A作AQ∥C1N,交A1C1于Q,连接B1Q,可得∠B1AQ(或其补角)是异面直线AB1与C1N所成角.在△B1AQ中,分别求出AB1、AQ和B1Q的长,结合余弦定理算出cos∠B1AQ的值,从而得到异面直线AB1与C1N所成的角是arccos
17
5

(2)平面A1B1C1中,过M作MH⊥A1C1于H.根据直三棱柱的性质结合面面垂直的性质定理,得到MH⊥平面AA1C1C,MH是三棱锥M-C1CN的高.算出MH的长和△C1CN的面积,结合三棱锥的体积公式,可得三棱锥M-C1CN的体积.
解答:解:(1)平面AA1C1C中,过A作AQ∥C1N,交A1C1于Q,连接B1Q
∴∠B1AQ(或其补角)就是异面直线AB1与C1N所成的角
矩形AA1C1C中,N是AC中点,可得Q是A1C1中点
Rt△AA1B1中,AB1=
AA12+A1B12
=5,同理可得AQ=
17

∵等腰Rt△A1B1C1中,B1Q是斜边的中线
∴B1Q=
2
2
A1B1=2
2

△B1AQ中,cos∠B1AQ=
25+17-8
2×5×
17
=
17
5
>0
∴∠B1AQ=arccos
17
5
,即异面直线AB1与C1N所成的角等于arccos
17
5

(2)平面A1B1C1中,过M作MH⊥A1C1于H
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面A1B1C1,CC1⊆平面AA1C1C
∴平面AA1C1C⊥平面A1B1C1
∵平面AA1C1C⊥平面A1B1C1=A1C1,MH⊥A1C1
∴MH⊥平面AA1C1C,MH是三棱锥M-C1CN的高线
∵△B1C1Q中,M是B1C1中点,MH∥B1Q
∴MH是△B1C1Q的中位线,得MH=
1
2
B1Q=
2

∵△C1CN的面积S=
1
2
CN×C1C=
1
2
×2
2
×3=3
2

∴三棱锥M-C1CN的体积VM-C1CN=
1
3
SC1CN×MH=
1
3
×3
2
×
2
=2
点评:本题给出特殊三棱柱,求异面直线所成角并求锥体的体积,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质,异面直线所成角的求法和锥体体积公式等知识,属于基础题.
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