Question

已知定义在R上的函数f（x-1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）=-f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=2x-1，则f（x）在闭区间[-2014，2014]上的零点个数为

 

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Answer 1

考点：函数的周期性,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：分析函数的周期性和对称性，进而画出函数在一个周期上的图象，分析一个周期内零点的个数，进而得到f（x）在闭区间[-2014，2014]上的零点个数．

解答： 解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是T=4的周期函数，
又∵函数f（x-1）的对称中心为（1，0），
∴函数f（x）的对称中心为（0，0），即函数f（x）为奇函数，
∵当x∈（0，1]时，f（x）=2x-1，
∴在一个周期[-2，2）上的图象如下图所示：

由图可得在一个周期[-2，2）上函数有6个零点，
故每个周期[4k-2，4k+2），k∈Z上函数都有6个零点，
[-2014，2014）上共有[2014-（-2014）]÷4=1007个周期，
故[-2014，2014）共有6×1007=6042个零点，
由f（2014）=0，
故f（x）在闭区间[-2014，2014]上的零点个数为6043，
故答案为：6043

点评：本题考查函数图象的作法，函数的周期性，函数的对称性，函数的零点，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．