Question

13．已知圆M：（x-3）²+（y-4）²=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$的取值范围是（　　）

• A． [-5，5]
• B． [-$\sqrt{5}$，5]
• C． [-5，$\sqrt{5}$]
• D． [-$\sqrt{5}，\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 如图所示，$|\overrightarrow{OM}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5.$|\overrightarrow{ME}|$=1．由已知可得$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=0，$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}$，因此$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}$=-5$cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$，由于$＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$∈[0，π]，即可得出．

解答 解：如图所示，
$|\overrightarrow{OM}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
$|\overrightarrow{ME}|$=1．
∵$\overrightarrow{ME}⊥\overrightarrow{MF}$，
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=0，
∵$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}$，
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{ME}$•$（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}）$
=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$
=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}$
=-$|\overrightarrow{ME}||\overrightarrow{OM}|cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$
=-5$cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$，
∵$＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$∈[-5，5]．
故选：A．

点评 本题考查了数量积运算性质、圆的标准方程、向量三角形法则、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．