Question

18．记数列{a_n}的前n项和为T_n，且{a_n}满足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）．
（1）求a₂、a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）证明：T_n=$\frac{{3\;{a_{\;n}}-n}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知依次令n=1和n=2，能求出a₂、a₃的值，再利用累加法能求出{a_n}的通项公式．
（2）利用分级求和法结合等比数列前n项和公式能证明T_n=$\frac{{3\;{a_{\;n}}-n}}{2}$．

解答 （1）解：∵{a_n}满足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2），
∴a₂=3+a₁=4，
${a}_{3}={3}^{2}+{{a}^{\;}}_{2}$=13．
a_n-a_n-1=3^n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+3²+…+3^n-1
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=$\frac{{3}^{n}}{2}-\frac{1}{2}$．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{{3}^{n}}{2}-\frac{1}{2}$．
（2）证明：∵a_n=$\frac{{3}^{n}}{2}-\frac{1}{2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（3-1）+（3²-1）+（3³-1）+…+（3ⁿ-1）]
=$\frac{1}{2}[（3+{3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n}）-n]$
=$\frac{1}{2}$[$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}-n$]
=$\frac{1}{2}[\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}-n]$
=$\frac{3{a}_{n}-n}{2}$，
∴T_n=$\frac{{3\;{a_{\;n}}-n}}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的证明，是中档题，解题时要注意累加法、分组求和法和等比数列的性质的合理运用．