题目内容
如图，在四棱柱
中，底面ABCD和侧面
都是矩形，E是CD的中点，
，
.
（1）求证：
；
（2）若平面与平面
所成的锐二面角的大小为
，求线段
的长度.
中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，.（1）求证：
；（2）若平面
与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.（1）证明过程详见解析；（2）
.
.试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得
，
，所以利用线面平行的判定得
平面
，再利用线面垂直的性质，得
；第二问，可以利用传统几何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面和平面的法向量，利用夹角公式列出方程，通过解方程，求出线段的长度..（1）证明：∵底面
和侧面
是矩形，∴
，又∵
∴
平面 3分∵
平面∴ ． 6分（2）
解法1：延长
，
交于
，连结
，则平面
平面
底面
是矩形，
是
的中点，，∴连结
，则
又由（1）可知
又∵
，
∴
底面，∴
∴
平面 9过
作
于
，连结
，则
是平面与平面即平面与平面所成锐二面角的平面角，所以
又
，∴
又易得
，
，从而由
，求得． 12分解法2：由（1）可知
又∵
，∴底面 7分设
为
的中点，以为原点，以
，
，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系如图． 8分
设
，则
，
，
，
，
设平面
的一个法向量
∵
，
由
，得
令
，得
9分设平面
法向量为
，因为 
，
，由
得
令
，得
． 10分由平面
与平面所成的锐二面角的大小为，得
，解得
． 即线段的长度为
． 12分
练习册系列答案
相关题目
的底面
是平行四边形，
，
，
面
，设
为
中点，点
在线段
上且
．
平面
；
的大小为
，若
，求
的长．
中，
，
为
的中点，
为
的中点.
平面
；
平面
；
为正方体
的点
的个数，并说明理由.
中，
，顶点
在底面
上的射影恰为点
，
．
平面
； 
为
的中点，求出二面角
的余弦值．
为
是三条不同的直线，
是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
，
，
，
，则
∥
，
，则
∥
，
，