Question

1．如图所示，在梯形ABCD中，∠B=$\frac{π}{2}$，$AB=\sqrt{2}$，BC=2，点E为AB的中点，若向量$\overrightarrow{CD}$在向量$\overrightarrow{BC}$上的投影为$-\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． -2
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系，设向量$\overrightarrow{CD}$与向量$\overrightarrow{BC}$的夹角为θ，转化求解相关向量，然后求解数量积即可．

解答 解：以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系如图，

∵$AB=\sqrt{2}$，BC=2，∴$A（{0，\sqrt{2}}）$，B（0，0），C（2，0），D的纵坐标为$\sqrt{2}$，
∵点E为AB的中点，∴$E（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，若向量$\overrightarrow{CD}$在向量$\overrightarrow{BC}$上的投影为$-\frac{1}{2}$，设向量$\overrightarrow{CD}$与向量$\overrightarrow{BC}$的夹角为θ，所以$|{\overrightarrow{CD}}|cosθ=-\frac{1}{2}$，过D作DF⊥BC，垂足为F，在Rt△DFC中，$cos（{π-θ}）=\frac{{|{\overrightarrow{FC}}|}}{{|{\overrightarrow{CD}}|}}$，所以$|{\overrightarrow{CF}}|=\frac{1}{2}$，所以$D（{\frac{3}{2}，\sqrt{2}}）$，所以$\overrightarrow{CE}=（{-2，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$\overrightarrow{BD}=（{\frac{3}{2}，\sqrt{2}}）$，所以$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}=-3+1=-2$．
故选：A．

点评 本题考查向量的数量积的求法，坐标法的应用，考查数形结合以及计算能力．