Question

15．已知圆C：x²+y²-4x+3=0，过原点的直线l与其交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求直线l斜率k的取值范围；
（Ⅱ）求线段AB的中点P的轨迹Γ的方程；
（Ⅲ）若直线m：y=ax+4与曲线Γ只有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l与其交于不同的两点A，B，可得$\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜1$，即可求直线l斜率k的取值范围；
（Ⅱ）利用CP⊥OP，即可求线段AB的中点P的轨迹Γ的方程；
（Ⅲ）利用直线m：y=ax+4与曲线Γ只有一个公共点，分类讨论，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由x²+y²-4x+3=0得（x-2）²+y²=1
直线l过原点，可设其方程：y=kx
∵直线l与其交于不同的两点A，B，
∴$\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜1$，∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（Ⅱ）设点P（x，y），
∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，
∴CP⊥OP，
∴${k_{CP}}•{k_{OP}}=\frac{y-0}{x-2}•\frac{y}{x}=-1（x≠2且x≠0）$，化简得x²+y²-2x=0．①
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x+3=0\\{x^2}+{y^2}-2x=0\end{array}\right.$得$x=\frac{3}{2}，y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
A，B是不同的两点，且点（2，0）的坐标满足①
因此点P（x，y）满足${x^2}+{y^2}-2x=0（\frac{3}{2}＜x≤2）$②
这是圆心为O₁（1，0），半径为1的一段圆弧（不包括端点${M_1}（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），{M_2}（\frac{3}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$），
反之，可验证以方程②的解（x，y）为坐标的点P（x，y）是曲线Γ上的一个点，因此②是轨迹Γ的方程．
（Ⅲ）设直线m：y=ax+4过D（0，4）
设直线m与圆${O_1}：{x^2}+{y^2}-2x=0$相切于点M，则有$\frac{{|{a+4}|}}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=1$，解得$a=-\frac{15}{8}$
直线M₁D的斜率为${k_{{M_1}D}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}-4}}{{\frac{3}{2}-0}}=\frac{{\sqrt{3}-8}}{3}$
类似的可得${k_{{M_2}D}}=\frac{{-\sqrt{3}-8}}{3}$
综上，若直线m与曲线Γ只有一个公共点，
则a的取值范围是 $a=-\frac{15}{8}或\frac{{-\sqrt{3}-8}}{3}＜a≤\frac{{\sqrt{3}-8}}{3}$

点评 本题考查曲线与方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．