题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率为
，且过点
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点
，点
在
轴上，过点的直线交椭圆交于
，
两点．
①若直线
的斜率为
，且
，求点的坐标；
②设直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，是否存在定点，使得
恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①
②存在，
；
【解析】
（1）根据椭圆离心率及过点，建立
方程组，求解即可（2）①设直线
的方程为：
,联立椭圆方程，利用弦长公式即可求出m,得到点
的坐标②直线分斜率为0与不为0两种情况讨论，斜率为0时易得存在，斜率不为0时，联立直线与椭圆方程，利用
恒成立，可化简知存在定点.
（1）∵椭圆
：
的离心率为
，且过点
．
∴
，
，
∴椭圆的方程为：．
（2）设
，
，
①设直线的方程为：．
．
．
，
．
，解得
.
∴．
②当直线的斜率为0时，
，
，
.
由可得
，解得
，即.
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为
．
由
.
，
．
由可得
，
，
.
.
，
∴当时，上式恒成立，
存在定点，使得恒成立．
【题目】某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间
与乘客等候人数
之间的关系，经过调查得到如下数据：
间隔时间（ | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人数（ | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数
，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.
（1）若选取的是后面4组数据，求关于的线性回归方程
；
（2）判断（1）中的方程是否是“恰当回归方程”；
（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
