Question

18．设A、B为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上两点，C为椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的右焦点，已知点F是△ABC的重心．
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）试推断△ABC能否为以AB为底边的等腰三角形？若能求出a，b应满足的关系；若不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得C（0，b），F（c，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由重心坐标公式可得，AB的中点，再由中点在椭圆内，结合离心率公式可得范围；
（2）假设△ABC为以AB为底边的等腰三角形，即有AC=BC，CF⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及点差法，即可得到a，b的范围．

解答 解：（1）由题意可得C（0，b），F（c，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由重心坐标公式可得，
x₁+x₂+0=3c，y₁+y₂+b=0，
即有AB的中点M坐标，可得
x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3c}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{b}{2}$，
由题意可得中点在椭圆内，
可得$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$＜1，
即为e²＜$\frac{1}{3}$，即有0＜e＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）假设△ABC为以AB为底边的等腰三角形，
即有AC=BC，CF⊥AB，
由（1）可得x₁+x₂=3c，y₁+y₂=-b，
由椭圆方程可得，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
即有k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3{b}^{2}c}{{a}^{2}b}$=$\frac{3bc}{{a}^{2}}$，
由两直线垂直的条件可得，
k_CF=-$\frac{b}{c}$=-$\frac{{a}^{2}}{3bc}$，
即有a²=3b²，即为a=$\sqrt{3}$b．
故△ABC能以AB为底边的等腰三角形，且a=$\sqrt{3}$b．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查椭圆离心率的范围的求法，注意运用三角形的重心坐标以及中点在椭圆内，考查点差法的运用，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．