Question

【题目】已知抛物线 的顶点在原点 ，对称轴是 轴，且过点 .
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）已知斜率为 的直线 交 轴于点 ，且与曲线 相切于点 ，点 在曲线 上，且直线 轴， 关于点 的对称点为 ，判断点 是否共线，并说明理由.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)根据题意，可设抛物线 的标准方程为 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
(Ⅱ)点 共线，理由如下：
设直线 ，联立
得 (*)
由 ，解得 ，
则直线 ，得 ， ，
又 关于点 的对称点为 ，故 ，
此时，(*)可化为 ，解得 ，
故 ，即 ，
所以 ，即点 共线
【解析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，可设抛物线C的标准方程，把已知点的坐标代入可得p值，可求抛物线方程；
（Ⅱ）根据题意设直线l：y=kx+m，联立直线方程与抛物线方程，利用根的判别式，以及它与斜率的关系可得点A，Q，O是否共线，从而得到答案．