Question

2．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A=60°，b=2，c=3，则$\frac{sin2C}{sinB}$的值为$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可解得a，cosC的值，利用同角三角函数关系式可求sinC，由正弦定理可得sinB的值，从而利用二倍角的正弦函数公式即可求值得解．

解答 解：∵A=60°，b=2，c=3，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=4+9-2×$2×3×\frac{1}{2}$=7，解得：a=$\sqrt{7}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{7+4-9}{2×\sqrt{7}×2}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，解得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴$\frac{sin2C}{sinB}$=$\frac{2sinCcosC}{sinB}$=$\frac{2×\frac{3\sqrt{21}}{14}×\frac{\sqrt{7}}{14}}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，二倍角的正弦函数公式的应用，考查了计算能力，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．