Question

已知△ABC中，三个内角A、B、C对应的三边长分别为a、b、c，且有4bcosAcosB=9asin²B．
（Ⅰ）求tanA•tanB的值；
（Ⅱ）求tanC的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用4bcosAcosB=9asin²B，直接求tanA•tanB的值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，通过tanC=tan[π-（A+B）]，诱导公式以及两角和的正切函数，求出tanC的最大值，然后判断此时△ABC的形状．

解答：解：（Ⅰ）∵4bcosAcosB=9asin²B
∴4cosAcosB=9sinAsinB…（3分）
显然cosAcosB≠0
∴tanA•tanB=

4

9

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，tanA•tanB=

4

9

＞0，故有tanA＞0，tanB＞0
∴tanA+tanB≥2

tanAtanB

=

4

3

…（8分）
∵tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

5

(tanA+tanB)
≤-

9

5

×2

tanA•tanB

=-

12

5

…（10分）
当且仅当tanA=tanB，即A=B时，tanC取得最大值-

12

5

，
此时△ABC为等腰三角形．                  …（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，诱导公式与两角和的正切函数的应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．