Question

7．已知某种产品的数量x（件）与其成本y（元）之间的函数关系可以近似用y=ax²+bx+c表示，其中a、b、c为待定常数，现有实际统计数据如下表：

产品数量x（件）	6	10	20
成本合计y（元）	1040	1600	3700

（1）试确定成本函数y=f（x）；
（2）已知这种产品每件的销售价为200元，求利润p关于x的函数p=p（x）；
（3）根据利润p关于x的函数p=p（x）确定盈亏转折时的产品数量（即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏）．

Answer 1

分析 （1）把表格中的数据对代入二次函数解析式，求解a，b，c的值，则成本函数可求；
（2）由收入减去成本得到利润函数p=p（x）；
（3）直接求解利润函数对应的方程，得到函数的两个零点，由此可以得到盈利和亏损时的产品数量的范围．

解答 解：（1）将表格中相关数据代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=1040}\\{100a+10b+c=1600}\\{400a+20b+c=3700}\end{array}\right.$，
解得a=5，b=60，c=500．
∴y=f（x）=5x²+60x+500，（x≥0）；
（2）∵x（百件）在每件销售价为200元时的收入为200（百元）=20（千元），
∴p=p（x）
=20x-f（x）
=20x-（5x²+60x+500）
=-5x²-40x+500，（x≥0）；
（3）令p（x）=0，即-5x²-40x+500=0，
解得x=-4-2$\sqrt{58}$（舍）或x=-4+2$\sqrt{58}$≈11.23，
故0＜x＜11.23时，p（x）＞0；x＞11.23时，p（x）＜0，
∴当产品数量为1123件时由盈变亏．

点评 本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答此题的关键是注意单位的统一，是中档题，也是易错题．