Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，D是BC上一点，且DC=2BD，E是AD的中点，则BE的长为$\frac{\sqrt{129}}{18}$．

Answer 1

分析 求出AD，BD，利用平行四边形对角线的平方的和等于四条边的平方和，可得结论．

解答 解：∵△ABC中，AB=AC=1，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，
∴BC=$\sqrt{1+1-2×1×1×\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵DC=2BD，
∴DC=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，BD=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$
∵$\frac{1}{sinC}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD²=1+$\frac{48}{81}$-2×1×$\frac{4\sqrt{3}}{9}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{57}{81}$，
∴2[1+（$\frac{2\sqrt{3}}{9}$）²]=$\frac{57}{81}$+（2BE）²，
∴BE=$\frac{\sqrt{129}}{18}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{129}}{18}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，利用平行四边形对角线的平方的和等于四条边的平方和是关键．