Question

设定点M（3，）与抛物线＝2x上的点P的距离为，P到抛物线准线l的距为，则＋取最小值时，P点的坐标为

A．（0，0）

B．（1，）

C．（2，2）

D．（，－）

Answer 1

C

试题分析：先判断出M（3，）在抛物线=2x的外部然后做出图形（如下图）则PM=d₁过p作PN⊥直线x=则PN=d₂，根据抛物线的定义可得d₁+d₂=PM+PF故要使取最小值则只有当P，M，F三点共线时成立因此可求出MF所在的直线方程然后与抛物线的方程联立即可求出P点的坐标．
∵（3，）在抛物线=2x上且＞∴M（3，）在抛物线=2x的外部，∵抛物线y²=2x的焦点F（，0），准线方程为x=-∴在抛物线=2x上任取点P过p作PN⊥直线x=则PN=
∴根据抛物线的定义可得=PF，∴ =PM+PF，∵PM+PFMF，∴当P，M，F三点共线时d₁+d₂取最小值，此时MF所在的直线方程为y-=（x-3）即4x-3y-2=0，令4x-3y-2=0， =2x，联立方程组得到 x-=2,y=2,即当点的坐标为（2，2）时,取最小值，故选C
点评：本题主要考察抛物线的性质，属常考题，较难．解题的关键是将d₁+d₂=PM+PN根据抛物线的定义转化为=PM+PF.