Question

【题目】已知公差大于零的等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是等差数列，且，求非零常数的值．

（3）设，为数列的前项和，是否存在正整数，使得对任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）因为数列为等差数列，，所以，

又，所以，是方程的两个根，（2分）

由解得，，

设等差数列的公差为，由题意可得，所以，

所以，，所以，解得，（3分）

所以，故数列的通项公式为．（4分）

（2）由（1）知，，所以，

所以，，，（5分）

因为数列是等差数列，所以，即，

即，解得（舍去），（7分）

当时，，易知数列是等差数列，满足题意．

故非零常数的值为．（8分）

（3）由题可得，（10分）

利用裂项相消法可得，故，（11分）

所以存在正整数，使得对任意的均成立，

所以的最小值为．（12分）