Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）设函数，在（Ⅰ）的条件下，试判断在上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时， 在上不存在极值；当时， 在上存在极值，且极值均为正．

【解析】试题分析：（1）不等式恒成立问题，一般先利用变量分离转化为对应函数最值问题： 的最大值，利用导数研究函数最值，易得在上单调递减，所以，因此，（2）即研究导函数的零点情况，先求导数，确定研究对象为，再求目标函数导数，确定单调性：先增后减，两个端点值都小于零，讨论最大值是否大于零，最后结合零点存在定理确定极值点个数.

试题解析：解：（Ⅰ）由，得．

即在上恒成立．

设函数， ．

则．

∵，∴．

∴当时， ．

∴在上单调递减．

∴当时， ．

∴，即的取值范围是．

（Ⅱ）， ．

∴．

设，则．

由，得．

当时， ；当时， ．

∴在上单调递增，在上单调递减．

且， ， ．

据（Ⅰ），可知．

（ⅰ）当，即时， 即．

∴在上单调递减．

∴当时， 在上不存在极值．

（ⅱ）当，即时，

则必定，使得，且．

当变化时， ， ， 的变化情况如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴当时， 在上的极值为，且．

∵．

设，其中， ．

∵，∴在上单调递增， ，当且仅当时取等号．

∵，∴．

∴当时， 在上的极值．

综上所述：当时， 在上不存在极值；当时， 在上存在极值，且极值均为正．

注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．