题目内容

在数列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），若不共线的非零向量 $数学公式$ 满足 $数学公式$ ，三点A，B，C共线且该直线不过O点，则S₂₀₁₀等于________．

1005
分析：由a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），知数列{a_n}是等差数列，由 $\text{[math]}$ ，且A、B、C共线，知a₁+a₂₀₁₀=1，再由等差数列的前n项和公式能够求出S₂₀₁₀．
解答：在数列{a_n}中，
∵a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），
∴数列{a_n}是等差数列，
A、B、C三点共线的充要条件是：对平面内任意一点O，都有 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，且A、B、C共线，
所以a₁+a₂₀₁₀=1，
∴ $\text{[math]}$
=1005．
故答案为：1005．
点评：本题考查向量和数列的综合运用，解题时要认真审题，注意A、B、C三点共线的充要条件是：对平面内任意一点O，都有 $\text{[math]}$ ，解题的关键是由 $\text{[math]}$ ，且A、B、C共线，知a₁+a₂₀₁₀=1．