Question

已知F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为D，线段DF₂的垂直平分线交l₂于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F₁作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设=λ，若λ∈[2，3]，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用中垂线的性质列方程，或者利用抛物线的定义写方程．
（2）利用定比分点坐标公式及向量坐标运算公式
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则D（-1，y），由中垂线的性质知|MD|=|MF₂|
∴|x+1|=化简得C的方程为y²=4x（3分）
（另：由|MD|=|MF₂|知曲线C是以x轴为对称轴，以F₂为焦点，以l₁为准线的抛物线
所以，，则动点M的轨迹C的方程为y²=4x）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由知①
又由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲线C上知，②
由①②解得
所以有x₁x₂=1，y₁y₂=4（8分）
=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-x₁-x₂+1+y₁y₂=（10分）
设，有在区间[2，3]上是增函数，
得，进而有，
所以，的取值范围是（13分）
点评：注意换元的思想，换元过程中特别注意变量范围的改变．