题目内容
已知F1,F2分别为椭圆x2 |
3 |
y2 |
2 |
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q,设
F1P |
F1Q |
F2P |
F2Q |
分析:(Ⅰ)利用中垂线的性质列方程,或者利用抛物线的定义写方程.
(2)利用定比分点坐标公式及向量坐标运算公式,并利用函数的单调性,求得
的取值范围.
(2)利用定比分点坐标公式及向量坐标运算公式,并利用函数的单调性,求得
F2P• |
F2Q |
解答:解:(Ⅰ)设M(x,y),则D(-1,y),由中垂线的性质知|MD|=|MF2|
∴|x+1|=
化简得C的方程为y2=4x(3分)
(另:由|MD|=|MF2|知曲线C是以x轴为对称轴,以F2为焦点,以l1为准线的抛物线
所以,
=1,则动点M的轨迹C的方程为y2=4x)
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由
知
①.
又由P(x1,y1),Q(x2,y2)在曲线C上知
②,
由①②解得
,所以有x1x2=1,y1y2=4.(8分)
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-x1-x2+1+y1y2=6-(λ+
)(10分)
设u=λ+
,有u′=(λ+
)′=1-
>0 ? u=λ+
在区间[2,3]上是增函数,
得
≤λ+
≤
,进而有
≤6-(λ+
)≤
,
所以,
的取值范围是[
,
].(13分)
∴|x+1|=
(x-1)2+y2 |
(另:由|MD|=|MF2|知曲线C是以x轴为对称轴,以F2为焦点,以l1为准线的抛物线
所以,
p |
2 |
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由
F1P= |
λ•F1Q |
|
又由P(x1,y1),Q(x2,y2)在曲线C上知
|
由①②解得
|
F2P• |
F2Q |
1 |
λ |
设u=λ+
1 |
λ |
1 |
λ |
1 |
λ2 |
1 |
λ |
得
5 |
2 |
1 |
λ |
10 |
3 |
8 |
3 |
1 |
λ |
7 |
2 |
所以,
F2P• |
F2Q |
8 |
3 |
7 |
2 |
点评:本题主要考查轨迹方程的求法,两个向量坐标形式的运算,注意换元的思想,换元过程中特别注意变量范围的改变,属于难题.
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