题目内容

已知F1,F2分别为椭圆
x2
3
+
y2
2
=1
的左、右焦点,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1,垂足为D,线段DF2的垂直平分线交l2于点M.
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q,设
F1P
F1Q
,若λ∈[2,3],求
F2P
F2Q
的取值范围.
分析:(Ⅰ)利用中垂线的性质列方程,或者利用抛物线的定义写方程.
(2)利用定比分点坐标公式及向量坐标运算公式,并利用函数的单调性,求得
F2P•
F2Q
的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)设M(x,y),则D(-1,y),由中垂线的性质知|MD|=|MF2|
∴|x+1|=
(x-1)2+y2
化简得C的方程为y2=4x(3分)
(另:由|MD|=|MF2|知曲线C是以x轴为对称轴,以F2为焦点,以l1为准线的抛物线
所以,
p
2
=1
,则动点M的轨迹C的方程为y2=4x)
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由
F1P=
λ•F1Q
x1+1=λ(x2+1) 
y1=λ y2
①.
又由P(x1,y1),Q(x2,y2)在曲线C上知
y12=4x1
y22=4x2
 ②,
由①②解得
x1
x2=
1
λ
,所以有x1x2=1,y1y2=4.(8分)
F2P•
F2Q
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-x1-x2+1+y1y2=6-(λ+
1
λ
)
(10分)
u=λ+
1
λ
,有u=(λ+
1
λ
)=1-
1
λ2
>0  ?  u=λ+
1
λ
在区间[2,3]上是增函数,
5
2
≤λ+
1
λ
10
3
,进而有
8
3
≤6-(λ+
1
λ
)≤
7
2

所以,
F2P•
F2Q
的取值范围是[
8
3
7
2
]
.(13分)
点评:本题主要考查轨迹方程的求法,两个向量坐标形式的运算,注意换元的思想,换元过程中特别注意变量范围的改变,属于难题.
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