题目内容
已知F1，F2分别为椭圆| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设
| F1P |
| F1Q |
| F2P |
| F2Q |
分析：（Ⅰ）利用中垂线的性质列方程，或者利用抛物线的定义写方程．
（2）利用定比分点坐标公式及向量坐标运算公式，并利用函数的单调性，求得
的取值范围．
（2）利用定比分点坐标公式及向量坐标运算公式，并利用函数的单调性，求得
| F2P• |
| F2Q |
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则D（-1，y），由中垂线的性质知|MD|=|MF2|
∴|x+1|=
化简得C的方程为y2=4x（3分）
（另：由|MD|=|MF2|知曲线C是以x轴为对称轴，以F2为焦点，以l1为准线的抛物线
所以，
=1，则动点M的轨迹C的方程为y2=4x）
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由
知
①．
又由P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线C上知
②，
由①②解得
，所以有x1x2=1，y1y2=4．（8分）
=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-x1-x2+1+y1y2=6-(λ+
)（10分）
设u=λ+
，有u′=(λ+
)′=1-
＞0 ? u=λ+
在区间[2，3]上是增函数，
得
≤λ+
≤
，进而有
≤6-(λ+
)≤
，
所以，
的取值范围是[
，
]．（13分）
∴|x+1|=
| (x-1)2+y2 |
（另：由|MD|=|MF2|知曲线C是以x轴为对称轴，以F2为焦点，以l1为准线的抛物线
所以，
| p |
| 2 |
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由
| F1P= |
| λ•F1Q |
|
又由P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线C上知
|
由①②解得
|
| F2P• |
| F2Q |
| 1 |
| λ |
设u=λ+
| 1 |
| λ |
| 1 |
| λ |
| 1 |
| λ2 |
| 1 |
| λ |
得
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| λ |
| 10 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 1 |
| λ |
| 7 |
| 2 |
所以，
| F2P• |
| F2Q |
| 8 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
点评：本题主要考查轨迹方程的求法，两个向量坐标形式的运算，注意换元的思想，换元过程中特别注意变量范围的改变，属于难题．
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