题目内容
已知F1、F2分别为椭圆
+
=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则△PF1F2的面积为
．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
9
| ||
| 4 |
9
| ||
| 4 |
分析：根据椭圆方程求得c=
＜b，从而判断出点P对两个焦点张角的最大值小于90°，可得直角三角形的直角顶点在焦点处，再利用椭圆的方程算出点P到F1F2轴的距离，利用三角形面积公式加以计算，可得△PF1F2的面积．
| 7 |
解答：解：设椭圆短轴的一个端点为M，
∵椭圆
+
=1中，a=4且b=3，∴c=
=
＜b
由此可得∠OMF1＜45°，得到∠F1MF2＜90°，
∴若△PF1F2是直角三角形，只能是∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．
令x=±
，得y2=9(1-
)=
，解得|y|=
．
即P到F1F2轴的距离为
，
∴△PF1F2的面积S=
|F1F2|×
=
．
故答案为：
∵椭圆
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
| a2-b2 |
| 7 |
由此可得∠OMF1＜45°，得到∠F1MF2＜90°，
∴若△PF1F2是直角三角形，只能是∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．
令x=±
| 7 |
| 7 |
| 16 |
| 81 |
| 16 |
| 9 |
| 4 |
即P到F1F2轴的距离为
| 9 |
| 4 |
∴△PF1F2的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
9
| ||
| 4 |
故答案为：
9
| ||
| 4 |
点评：本题给出点P是椭圆上与两个焦点构成直角三角形的点，求△PF1F2的面积．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和三角形的面积计算等知识，属于中档题．
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