Question

如图，三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2VC，∠ACB=120°．
（1）求证：AB⊥VC；
（2）求二面角V-AB-C的度数．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AB中点E，连接VE，CE，由已知条件推导出VE⊥AB，CE⊥AB，从而AB⊥平面VEC，由此能证明AB⊥VC．
（2）由已知得∠VEC为所求二面角V-AB-C的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的度数．

解答： （1）证明：取AB中点E，连接VE，CE，
因为VA=VB，所以VE⊥AB，
同理，因为CA=CB，所以CE⊥AB，
又因为VE∩CE=E，
所以AB⊥平面VEC，
又因为VC?平面VEC
所以AB⊥VC．
（2）解：由（1）知∠VEC为所求二面角V-AB-C的平面角，
设VC=a，因为E为中点，AB=AC=2VC=2a，
又因为∠ACB=120°，所以AE=EB=

3

a，CE=a，VE=a，
因为在△VEC中，VC=a，所以△VEC为等边三角形，
所以∠VEC=60°，所以二面角V-AB-C的度数为60°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．