Question

【题目】己知函数在处的切线方程为，函数．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）设（表示p，q中的最小值），若在上恰有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】

（1）求出，然后利用和建立方程组求解即可

（2）求出，然后分和两种情况讨论即可

（3）由于仅有一个零点1，且恒成立，条件可转化为在上有且仅有两个不等于1的零点，然后分、、、四种情况讨论.

（1），

因为在处的切线方程为，

所以，解得，

所以．

（2）的定义域为，，

①若时，则在上恒成立，

所以在上单调递增，无极值．

②若时，则当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以当时，有极小值，无极大值．

（3）因为仅有一个零点1，且恒成立，

所以在上有且仅有两个不等于1的零点．

①当时，由（2）知，在上单调递增，

在上至多一个零点，不合题意，舍去，

②当时，，在无零点，

③当时，，当且仅当等号成立，在仅一个零点，

④当时，，，所以，

又图象不间断，在上单调递减，

故存在，使，

又，

下面证明，当时，，，

在上单调递增，

所以，，

又图象在上不间断，在上单调递增，

故存在，使，

综上可知，满足题意的k的范围是．