Question

【题目】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，以为直径作圆.

（1）判断圆与坐标轴的位置关系，并证明你的结论；

（2）设直线与抛物线交于，，且，若的面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）相切，证明见解析 （2）或.

【解析】

（1）利用圆心到y轴的距离等于半径，从而判断圆与轴相切；

（2）设直线的方程为，（），，，根据可证得直线过定点，再利用三角形的面积求得的值，即可得答案.

（1）相切，证明如下：设，圆的半径为.

则，线段的中点为，

所以，以为直径的圆的圆心到轴的距离.

从而，圆与坐标轴相切.（证毕）

（2）解：设直线的方程为，（），，

由（*），

得，，

又由，即，

解得或（舍）.

∴直线的方程为，故直线恒过定点.

∴，，

∴.

所以，.

回代方程（*），检验.

所以，直线的方程为或.