题目内容

已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周长为16．
（1）求点C轨迹L的方程；
（2）过O作直线OM、ON，分别交轨迹L于M、N点，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下过O作OP⊥MN交于P点．求证点P在定圆上，并求该圆的方程．
（1）由已知：|AC|+|BC|+|AB|=16
∴|AC|+|BC|=10
∴a=5，c=3
∴b2=a2-c2=16
∴点C的轨迹为：
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
（2）显然OM，ON斜率均存在．设OM：y=kx，则ON：y=-
1
k
x
联立OM与L可知：
x2
25
+
k2x2
16
=1⇒x2=
1
1
25
+
k2
16

∴|OM|=
1+k2
•|x|=
1+k2
1
25
+
k2
16
同理|ON|=
1+
1
k2
1
25
+
1
16k2
=
1+k2
1
25
k2+
1
16

∴S△MON=
1
2
|OM|•|ON|=
1
2
(1+k2)2
(
1
25
+
k2
16
)(
k2
25
+
1
16
)
≥
1
2
•
1+k2
1
25
+
k2
16
+
k2
25
+
1
16
2
=
400
41

当且仅当：
1
25
+
k2
16
=
k2
25
+
1
16
时取“=”即k=±1时取“=”
∴S△MON的最小值为
400
41

（3）由已知：|MN|=
|OM|2+|ON|2
=
1+k2
1
25
+
k2
16
+
1+k2
k2
25
+
1
16

∴|OP|=
|OM|•|ON|
|MN|
=
1+k2
1
25
+
k2
16
•
1+k2
1
25
k2+
1
16
1+k2
1
25
+
k2
16
+
1+k2
k2
25
+
1
16
=
400
41
=
20
41
41

∴点P一定在定圆x2+y2=
400
41
上．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-
2
，0)，(
2
，0)，离心率是
6
3
，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
3
，直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长|AB|．
椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=
2
3
，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（-
2
，0）、B（
2
，0），离心率e=
2
2
．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且|MN|=
8
2
7
，求直线MN的方程．
已知点A（1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．
已知椭圆C过点P（1，
3
2
），两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．
直线L：
x
4
+
y
3
=1与椭圆E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，则实数k的取值范围为______．

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