题目内容

已知椭圆C过点P（1，
3
2
），两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．
（1）由题意可知，c=1，a2=b2+1
设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）…即
x2
1+b2
+
y2
b2
=1
因为点P在椭圆上，所以
1
1+b2
+
9
4b2
=1，解得b2=3，
所以椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1
（2）设过点F1的直线方程为：x=my-1
代入
x2
4
+
y2
3
=1，得：
(my-1)2
4
+
y2
3
=1
整理得（3m2+4）y2-6my-9=0y1+y2=
6m
3m2+4

同理可得：x1+x2=
-8
3m2+4

设线段AB的中点为M（x，y），则
x=
x1+x2
2
=
-4
3m2+4
y=
y1+y2
2
=
3m
3m2+4

整理得：3x2+4y2+3x=0
当y=0时，易知线段AB的中点为原点，满足上述方程．
综上所述，所求的方程为：3x2+4y2+3x=0
练习册系列答案
相关题目
设a、b是非零实数，则方程bx2+ay2=ab及ax+by=0所表示的图形可能是（　　）
A．B．C．D．
设双曲线方程
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为
3
4
c．
（1）求双曲线的离心率；
（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．
已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周长为16．
（1）求点C轨迹L的方程；
（2）过O作直线OM、ON，分别交轨迹L于M、N点，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下过O作OP⊥MN交于P点．求证点P在定圆上，并求该圆的方程．
椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与抛物线C2：x2=2py（p＞0）的一个交点为M．抛物线C2在点M处的切线过椭圆C1的右焦点F．
（1）若M(2，
2
5
5
)，求C1和C2的标准方程；
（II）若b=1，求p关于a的函数表达式p=f（a）．
已知F1，F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是
2
，过F2的直线交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．
已知点D（0，-2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为
3
2
的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．
已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．
设椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，焦距为2，F为右焦点，B1为下顶点，B2为上顶点，S△B1FB2=1．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l同时满足下列三个条件：①与直线B1F平行；②与椭圆交于两个不同的点P、Q；③S△POQ=
2
3
，求直线l的方程．

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