题目内容

已知数列{an}满足a1=1，an2=（2an+1）an+1（n∈N*）．
（1）令bn=lg(1+
1
an
)(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求证：
n
i=1
ai
1+ai
＜
7
8
．
分析：（1）利用等比数列的定义和对数的运算性质证明
bn+1
bn
为常数即可；
（2）由（1），利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）通过二项式定理放缩，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：（1）证明：∵
bn+1
bn
=
lg(1+
1
an+1
)
lg(1+
1
an
)
=
lg(1+
2an+1
a
2
n
)
lg(1+
1
an
)
=
lg(1+
1
an
)2
lg(1+
1
an
)
=2，
∴数列{bn}是以lg(1+
1
a1
)=lg2为首项，以2为公比的等比数列．

（2）由（1）知bn=lg(1+
1
an
)=2n-1lg2，即1+
1
an
=22n-1，故an=
1
22n-1-1
．
（3）由（2）得
ai
1+ai
=(
1
2
)2i-1，
∴
n
i=1
ai
1+ai
=
a1
1+a1
+
a2
1+a2
+…+
an
1+an
=
1
2
+(
1
2
)2+(
1
2
)22+…+(
1
2
)2n-1，
当n≥4时，2n-1=(1+1)n-1=1+
C
1
n-1
+
C
2
n-1
+…+
C
n-1
n-1
＞1+
C
1
n-1
+
C
n-1
n-1
=n+1，
即n≥4时，(
1
2
)2n-1＜(
1
2
)n+1，
故
n
i=1
ai
1+ai
＜
1
2
+(
1
2
)2+(
1
2
)22+[(
1
2
)5+(
1
2
)6+…+(
1
2
)n+1]
=
1
2
+
1
4
+
1
16
+
(
1
2
)5[1-(
1
2
)n-3]
1-
1
2
=
7
8
-(
1
2
)n+1＜
7
8
．

∴
n
i=1
ai
1+ai
＜
7
8
．
点评：数列掌握等比数列的定义和通项公式、前n项和公式、对数的运算性质、二项式定理等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网