Question

（2010•永州一模）某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=2^{（1-kt）（x-b）2}，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万元；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
（1）试确定k、b的值；
（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q=2-x．p=q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据“关系式：p=2^{（1-kt）（x-b）2}，及市场价格为5千元，则市场供应量均为1万元；市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．”，可得到

1=2(1-0.75t)(5-b)2 2=2(1-0.75)(7-b)2

从而求得结果．
（2）当p=q时，可得2^{（1-t）（x-5）2}=2^-x，可求得t=1+

x

(x-5)2

=1+

1

x+ 25 x -10

，由双勾函数f（x）=x+

25

x

在（0，4]上单调递减，可知当x=4时，f（x）有最小值．

解答：解：（1）由已知可得：

1=2(1-0.75t)(5-b)2 2=2(1-0.75)(7-b)2

∴

(1-0.75k)(5-b)2=0 (1-0.75k)(7-b)2=1

，
解得：b=5，k=1
（2）当p=q时，2^{（1-t）（x-5）2}=2^-x
∴（1-t）（x-5）²=-x?t=1+

x

(x-5)2

=1+

1

x+ 25 x -10

，
而f（x）=x+

25

x

在（0，4]上单调递减，∴当x=4时，f（x）有最小值

41

4

，
此时t=1+

1

x+ 25 x -10

取得最大值5；
故当x=4时，关税税率的最大值为500%

点评：本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法．