Question

（2010•永州一模）已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60^o，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E、F分别是BC、PA的中点．
（1）求证：BF∥平面PED；
（2）求二面角P-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，过点A且平行DE的直线为y轴，AD，AP所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面PDE一个法向量

n1

，根据

BF

•

n1

=0推出BF∥平面PDE；
（2）可取平面ABCD的法向量

n2

，先求出平面PDE一个法向量

n1

与平面ABCD的法向量

n2

的夹角，从而得到二面角的大小．

解答：解：以A为原点，过点A且平行DE的直线为y轴，AD，AP所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz则A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），E(2，

3

，0)，F(0，0，

1

2

)，B(1，

3

，0)∴

PD

=(2，0，-1)，

DE

=(0，

3

，0)，

BF

=(-1，-

3

，

1

2

)（2分）
（1）设平面PDE法向量

n1

=（x，y，z）
由

n1 • PD =0 n1 • DE =0

⇒

2x-z=0 3 y=0

令x=1，则

n1

=(1，0，2)∵

BF

•

n1

=0∴

BF

⊥

n1

又∵BF?平面PDE∴BF∥平面PDE．（7分）
（2）可取平面ABCD的法向量

n2

=

AP

=(0，0，1)∴cos＜

n1

，

n2

＞=

2

1× 5

=

2 5

5

∴所求二面角的余弦值为

2 5

5

．（12分）

点评：本小题主要考查直线平行与平面的判定，以及利用空间向量度量二面角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．