Question

已知数列{a_n}满足a1=1，a2=

1

2

，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]（n=1，2，3，…）
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜3．

Answer 1

分析：（1）分别令n=1，2，3，4可求得a₃，a₄，a₅，a₆的值，分类讨论，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{b_n}的通项，利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：分别令n=1，2，3，4可求得：a3=3，a4=

1

4

，a5=5，a6=

1

8

当n为奇数时，不妨设n=2m-1，m∈N^*，则a_2m+1-a_2m-1=2．
∴{a_2m-1}为等差数列，∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1
即a_m=n．
当n为偶数时，设n=2m，m∈N^*，则a_2m+2-a_2m=0．
∴{a_2m}为等比数列，a2m=

1

2

•(

1

2

)m-1=

1

2m

，
故an=(

1

2

)

n

2

．
综上所述，an=

n，(n为奇) ( 1 2 ) n 2 ，(n为偶数)

；
（2）证明：b_n=a_2n-1•a_2n=（2n-1）•

1

2n

∴T_n=1×

1

2

+3×

1

22

+…+（2n-1）•

1

2n

∴

1

2

T_n=1×

1

22

+3×

1

23

+…+（2n-3）•

1

2n

+（2n-1）•

1

2n+1

两式相减可得

1

2

T_n=

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-（2n-1）•

1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

∴T_n=3-

2n+3

2n

∴T_n＜3．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．