Question

已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.

 (1)求证：BE∥平面PDA；

(2)若N为线段PB的中点，求证：NE⊥平面PDB.

Answer 1

证明：　(1)∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，

∴EC∥平面PDA，

同理可得BC∥平面PDA.

∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面BEC且EC∩BC＝C，

∴平面BEC∥平面PDA.

又∵BE⊂平面BEC，∴BE∥平面PDA.

(2)连接AC，交BD于点F，连接NF，

∵F为BD的中点，

∴NF∥PD且NF＝PD，

又EC∥PD且EC＝PD，

∴NF∥EC且NF＝EC.

∴四边形NFCE为平行四边形，

∴NE∥FC，

∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，

又DB⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，

∴NE⊥平面PDB.