Question

18．如图，AC₁是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线．
（1）求证：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；
（2）求证：直线AC₁⊥直线BD．

Answer 1

分析 （1）推导出A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，A₁B∩A₁D=A₁，由此能证明平面A₁BD∥平面CD₁B₁．
（2）连接AC，推导出AC⊥BD，C₁C⊥BD，从而直线BD⊥平面ACC₁，由此能证明直线AC₁⊥直线BD．

解答 证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，A₁B∩A₁D=A₁，
A₁B，A₁D?平面A₁BD，D₁C，B₁C?平面CD₁B₁，
∴平面A₁BD∥平面CD₁B₁．
（2）连接AC，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AC⊥BD，
∴C₁C⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴C₁C⊥BD，
∵AC⊥BD，C₁C⊥BD，AC∩C₁C=C，
∴直线BD⊥平面ACC₁，
又AC₁?平面ACC₁，
∴直线AC₁⊥直线BD．

点评 本题考查线面平行的证明，考百线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．