Question

【题目】以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若将曲线（为参数）上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C.直线l的极坐标方程为.

（1）求曲线C的普通方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，线段AB的中点为M，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意得到（为参数）后，消去参数即可得到曲线C的普通方程；

（2）将直线的方程化为参数方程的标准形式并代入到圆的方程，利用参数的几何意义可解得结果.

（1）将曲线（为参数）上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 然后将所得图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到（为参数），消去参数得圆C的普通方程为.

（2）由得，即，因为，所以，

即直线l的直角坐标方程为：，倾斜角为，点，

设直线l的参数方程为，代入圆C的普通方程并整理得：，

因为，设、两点对应的参数分别为，，则点对应的参数为，

由韦达定理得，，

则.