Question

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，点N为B1C1的中点，点P在棱A1C1上运动．

(1)试问点P在何处时，AB∥平面PNC，并证明你的结论；

(2)在(1)的条件下，若AA1<AB，直线B1C与平面BCP所成角的正弦值为，求二面角A－BP－C的大小.

Answer 1

(1)当点P为A1C1的中点时，AB∥平面PNC.

∵P为A1C1的中点，N为B1C1的中点，∴PN∥A1B1∥AB

∵AB⊄平面PNC，PN⊂平面PNC，∴AB∥平面PNC.

(2)设AA1＝m，则m<2，∵AB、BC、BB，两两垂直，

∴以B为原点，BA、BC，BB1为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0，m)，A1(2,0，m)，C1(0,2，m)，

∴P(1,1，m)，设平面BCP的法向量n＝(x，y，z)，

则由n·＝0，n·＝0，解得y＝0，x＝－mz，

令z＝0，则n＝(－m,0，－1)，又＝(0,2，－m)，

直线B1C与平面BCP所成角正弦值为，

∴＝，解之得m＝1

∴n＝(－1,0,1)

易求得平面ABP的法向量n1＝(0，－1,1)

cosα＝＝，设二面角的平面角为θ，则cosθ＝－，∴θ＝120°.