Question

【题目】直角三角形中，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面．

（1）当时，证明：平面；

（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得，取的中点，连接交于，当时，由几何关系可证得平面.则.利用线面垂直的判断定理可得平面.

(2)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量与平面的法向量计算可得存在，使得与平面所成的角的正弦值为.

试题解析：

（1）在中，，即，

则，

取的中点，连接交于，

当时，是的中点，而是的中点，

∴是的中位线，∴.

在中，是的中点，

∴是的中点.

在中，，

∴，则.

又平面平面，平面平面，

∴平面.

又平面，∴.

而，∴平面.

（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，

由（1）知是中点，，而平面平面.

∴平面，

则.

假设存在满足题意的，则由.

可得，

则.

设平面的一个法向量为，

则即

令，可得，，即.

∴与平面所成的角的正弦值

.

解得（舍去）.

综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.