Question

7．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦距等于短轴长，设不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点，满足直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C过点（2，0），求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得b=c，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率；
（2）由（1）及椭圆C过点（2，0）列式求出a，b的值，得到椭圆方程，设直线方程为y=kx+t（t≠0），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列求得k，再由弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求得O到直线MN的距离，代入三角形面积公式，然后利用基本不等式求得△OMN面积的最大值．

解答 解：（1）由题意得，b=c，∴b²=a²-c²=c²，解得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{a=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
设直线l：y=kx+t（t≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-4=0．
再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4kt}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{t}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
由已知可得：${k}^{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，即$（k{x}_{1}+t）（k{x}_{2}+t）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$，
∴k（x₁+x₂）+t=0．
即$\frac{-4{k}^{2}t}{1+2{k}^{2}}+t=0$，解得：${k}^{2}=\frac{1}{2}$．
弦长|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+\frac{1}{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{3}{2}}•\sqrt{（\frac{-4kt}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{2{t}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}}=\sqrt{3}•\sqrt{4-{t}^{2}}$，
O到MN的距离d=$\frac{\sqrt{2}|t|}{\sqrt{3}}$．
∴△OMN面积S=$\frac{\sqrt{2}}{2}|t|\sqrt{4-{t}^{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{{t}^{2}+4-{t}^{2}}{2}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．