Question

直线y=x+

5

与曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1交点的个数为

 

．

Answer 1

分析：分类写出曲线方程，联立直线与双曲线得到方程的判别式等于0，说明直线与双曲线相切，画图得到直线与曲线的交点个数．

解答：解：由

y2

9

-

x|x|

4

=1，得：

y2 9 - x2 4 =1  (x≥0) y2 9 + x2 4 =1  (x＜0)

．
联立

y=x+ 5 y2 9 - x2 4 =1

，得5x2-8

5

x+16=0．
∵△=(-8

5

)2-4×5×16=0．
∴方程有两个相等的实数根．直线与双曲线相切．
作直线与曲线图象如图，

由图可知，直线y=x+

5

与曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1交点的个数为2个．
故答案为：2．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．