Question

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x）-2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

解：（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，∴a=10b②．
又对于任意x∈R，f（x）≥2x恒成立，即f（x）-2x≥0恒成立，则x²+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=lg²a-4lgb≤0，
将①式代入上式得：lg²b-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100；
故a=100，b=10．
（2）g（x）=f（x）-2x=x²+2x+1=（x+1）²，
∵存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，即（x+t+1）²≤x恒成立．
∴?t∈R，，即，x∈[1，m]恒成立．
设≥1，则-u-u²≤t+1≤u-u²，
∴，
∵当≥u≥1时，单调递减，故u=1时取得最大值-2；
单调递减，故时取得最小值．
∴．
∴，即，化为，
又m≥1，解得，解得1＜m≤4，
∴实数m的最大值是4．
分析：（1）利用对数的运算法则及对于任意x∈R二次函数f（x）-2x≥0恒成立问题与判别式△的关系即可解出；
（2）把存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，等价转化为，x∈[1，m]恒成立，进而等价转化，x∈[1，m]，利用二次函数的单调性即可解出．
点评：熟练掌握对数的运算法则、二次函数恒成立问题与判别式△的关系、把恒成立问题等价转化、二次函数的单调性等是解题的关键．