Question

已知函数的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）设，求证：上恒成立；

（3）已知.

 

Answer 1

（1）；（2）由已知得在上恒成立，

化简，即在上恒成立.

设，，

因为，所以，即，

所以在上单调递增，，所以在上恒成立 .

（3）因为，所以，由（2）知有，

整理得，所以当时，.

【解析】

试题分析：（1）首先将点的坐标代入切线方程，即可求出；然后将点的坐标代入函数的解析式可得；再由导数的几何意义知，即；最后联立方程组即可求出参数的值，并写出函数的解析式即可；

（2）将不等式整理得出，问题转化为在上恒成立，然后记，并求出，得出时，可知在上单调递增，从而求出的最小值即可得出结果.

试题解析：（1）将代入切线方程得， ∴，

化简得.，，

解得：.∴.

（2）由已知得在上恒成立，

化简，即在上恒成立.

设，，

因为 ，所以，即，

所以在上单调递增，，所以在上恒成立 .

（3）因为，所以，由（2）知有，

整理得，所以当时，.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题.