Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为线段，上的点，且，，.

(1)求证：平面；

(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结果；

（2）先由题意得到，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.

(1)由题意知，，，

所以，

所以，所以，

又易知，

所以，

所以，又，

所以，

所以，

因为平面平面，交线为，

所以平面，所以，

因为，，

所以平面；

(2)由(1)知，，两两互相垂直，所以可建立如图所示的直角坐标系，

因为直线与平面所成的角为，即，所以，

则，，，，

所以，，．

因为，，所以，

由(1)知，所以，

又平面，所以，

因为，

所以平面，

所以为平面的一个法向量．

设平面的法向量为，则，

所以，令，得，，

所以为平面的一个法向量．

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，

故平面与平面所成的锐二面角为.