Question

【题目】如图，三棱锥中，是的中点，为正三角形，，，，平面平面.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）由条件可得，再根据平面平面，得到平面，于是可证得．（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，根据两向量夹角的余弦值可得所求正弦值．

（1）∵，，，

∴，

∴．

∵平面平面，且平面平面，

∴平面．

又平面．

∴．

（2）取中点，连接，

∵为正三角形．

∴，

又平面平面，且平面平面，

∴平面．

由，知．

过点作，则，

分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

∵是的中点，

∴，

∴，，．

设平面的一个法向量为，

则，即，令，得，，

∴．

设直线与平面所成角为，

则．

故直线与平面所成角的正弦值为．