题目内容
如图，已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=
，椭圆C2的方程为
+
=1（a＞b＞0），C2的离心率为
，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．
| 20 |
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
由e=
得
=
，
∴a2=2c2，b2=c2，
设椭圆方程为：
+
=1（2分）
令A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得圆心C1（2，1）为AB中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
又A，B均在椭圆C2上，
∴
+
=1，
+
=1，
两式相减得：
+
=0
即
+
=0
∴kAB=
=-1，
即直线AB的方程为y-1=-（x-2）即x+y-3=0（6分）
将y=-x+3代入
+
=1得3x2-12x+18-2b2=0（9分）
∴x1+x2=4，x1x2=
由直线AB与椭圆C2相交，
∴△=122-12（18-2b2）=24b2-72＞0即b2＞3，
又|AB|=
|x1-x2|=
=2•
（11分）
即16-4•
=
解得b2=8，故所求的椭圆方程为
+
=1（13分）
| ||
| 2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
∴a2=2c2，b2=c2，
设椭圆方程为：
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
令A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得圆心C1（2，1）为AB中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
又A，B均在椭圆C2上，
∴
| x12 |
| 2b2 |
| y12 |
| b2 |
| x22 |
| 2b2 |
| y22 |
| b2 |
两式相减得：
| (x1+x2)(x1-x2) |
| 2b2 |
| (y1+y2)(y1-y2) |
| b2 |
即
| 4(x1-x2) |
| 2b2 |
| 2(y1-y2) |
| b2 |
∴kAB=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
即直线AB的方程为y-1=-（x-2）即x+y-3=0（6分）
将y=-x+3代入
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
∴x1+x2=4，x1x2=
| 18-2b2 |
| 3 |
∴△=122-12（18-2b2）=24b2-72＞0即b2＞3，
又|AB|=
| 2 |
| 2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
|
即16-4•
| 18-2b2 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 8 |
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